Physiques des solitons [texte imprimé] /
Peyrard Michel ;
Thierry Dauxois . -
EDP Sciences, 2004 . - 408 p ; 15 x 24 cm.
ISSN : 9782868837328
Table des matières
Avant-propos
Introduction
I Les différentes classes de solitons
1 L'équation de Korteweg-de Vries
1. 1 La découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Les observations de .John Scott Russell
1.1.2 L'interprétation de Korteweg-de Vries .
1.1.3 Propriétés de l'équation de Korteweg-de Vries
et de ses sol
1.2 Les solutions de l'équation de Korteweg-de Vries 14
1.2.1 Solutions à profil constant 14
1.2.2 Solutions multisolitons 17
1.3 Relations de conservation . . . . . 20
1.4 Lignes électriques non-linéaires . . 21
1.4.1 Description du problème physique 21
1.4.2 Approximation linéaire. Relation de dispersion 23
1.4.3 L'équation non-linéaire dans la limite
des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.4 Les solutions quasi-solitons de la chaîne électrique . . 26
1.4.5 La limite Korteweg-de Vries pour la chaîne électrique 27
1.5 Ondes de pression sanguine . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Ondes internes en océanographie . . . . . . . . . 35
1.7 La généralité de l'équation de Korteweg-de Vries 37
2 L'équation de sine-Gordon 39
2.1 Un exemple mécanique simple:
la chaîne de pendules couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4hysique des solitons
Les solutions de l'équation de sine-Gordon ......... .
2.2.1 Topologie du paysage énergétique ......... .
2.2.2 Les solutions de faible amplitude : la limite linéaire
2.2.3 Solutions solitons . . .
2.2.4 Énergie du soliton . . .
2.2.5 Solutions multisolitons
2.2.6 La solution breather ..
Étude des jonctions Josephson longues
2.3.1 Équation dynamique de la jonction
2.3.2 Applications aux propriétés d'une jonction Josephson
2.3.3 Signification physique du soliton : fluxon
Autres exemples de solitons topologiques ...
2.4. l Le modèle 4>4 . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Le modèle double sine-Gordon
3 L'équation de Schrodinger non-linéaire 71
3.1 Ondes non-linéaires dans la chaîne de pendules 72
3.2 Propriétés de l'équation de NLS . . . . . . . . . 76
3.2.1 La solution soliton de l'équation de NLS 77
3.2.2 La localisation de l'énergie par instabilité
rnodulationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.3 Relation entre le breather de SG et le soliton de NLS 83
3.3 Relations de conservation . . . 85
3.3.1 Le lagrangien de NLS . 85
3.3.2 L'hamiltonien de NLS . 86
3.4 Théorème de Nœther . . . . . . 89
3.4.1 Rappel du théorème . . 89
3.4.2 Application à l'équation NLS . 90
3.5 Lignes électriques non-linéaires . . . . 91
3.6 Solitons dans les fibres optiques . . . . 92
3.6.1 Origine de la non-linéarité: polarisation non-linéaire 92
3.6.2 La structure du champ électrique dans la fibre 95
3.6.3 La propagation non-linéaire le long de la fibre . . 98
3.6.4 La confrontation avec l'expérience . . . . . . . . . 103
3.6.5 Application aux communjcations par fibre optique 105
3.7 Auto-focalisation en optique . 106
3.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lll
4 Modélisation : ondes dans un plasma 113
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . 113
4.2 Le plasma . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.1 Physique d'un plasma . . . . . 114
4.2.2 Températures et équations d'état 116
4.2.3 Passage à des équations sans dimension 118
4.3 Étude de la dynamique linéaire . . . . . . . . . 119
Table des matières
4.4 Étude non-linéaire
4.4.1 Le plasma peut être décrit par l'équation de KdV
4.4.2 La relation de dispersion
4.5 Obtention de l'équation de NLS
4.6 Observations expérimentales
4.7 Discussion
4.7.1 Les ondes hydrodynamiques
4.7.2 Les lignes électriques
II Méthodes mathématiques d'étude des solitons
Avant-propos
5 Linéarisation autour du soliton 139
5.1 Spectre des excitations d'un soliton sine-Gordon 139
5.2 Application: perturbations du soliton
5.2.1 Présentation
5.2.2 Exemple: réponse du soliton à une force extérieure
en présence de dissipation 143
5.3 Spectre des excitations d'un soliton 148
6 Méthode des coordonnées collectives 155
6.1 La méthode du lagrangien effectif 155
6.2 Introduction d'une seconde coordonnée collective 159
7 La méthode inverse de diffusion 165
7.1 La méthode inverse pour l'équation de Korteweg-de Vries 165
7.1.1 Le principe de la méthode inverse 165
7.1.2 L'inversion des données de diffusion 167
7.1.3 L'évolution temporelle des données de diffusion 169
7.1.4 Exemples d'applications 172
7.2 < Analyse de Fourier non-linéaire > 175
7.2.1 Une étape de la généralisation: la méthode de Lax 176
7.2.2 La méthode (AKNS) Ablowitz-Kaup-Newell-Segur 179
181 7.2.3 La méthode inverse et la théorie des perturbations...
III Exemples en physique des solides
Avant-propos
8 Le problème de Fermi-Pasta-Ulam
14.2 Étude des équations de Davydov
14.3 Le soliton de Davydov existe-t-il?
14.4 Le cristal d'acétanilide
15 Dynamique non-linéaire de l'ADN
15.1 Un modèle simple pour l'ADN
Physique des solitons
15.1.1 Structure statique de l'ADN 332
15.1.2 Les différents processus dynamiques 333
15.1.3 Le modèle 338
15.2 Dynamique non-linéaire de l'ADN 343
15.2.1 Equations adimensionnées 343
15.2.2 Solution non-linéaire des équations du mouvement.. 344
15.2.3 Dynamique du modèle en contact
avec un bain thermique 347
15.3 Physique statistique de la dénaturation 351
15.3.1 Étude qualitative de la transition de phase 352
15.3.2 Le problème associé de l'oscillateur de Morse 355
15.3.3 Le paramètre d'ordre pour l'ADN 356
15.4.1 La paroi de domaine
15.4 Une autre approche de la dénaturation
15.4.2 Fluctuations autour de la paroi de domaine
15.4.3 Energie libre de la paroi de domaine
15.4.4 Discussion
Conclusion: Les solitons existent-ils?
Appendices
A Ondes hydrodynamiques
A.1 Équations de base et conditions aux limites
A.1.1 Condition à la limite cinématique
A.1.2 Condition à la limite physique
A.2 Formulation mathématique du problème.
373A.2.1 Les équations de définition du problème 378
A.2.2 Pression statique et pression dynamique 379
A.2.3 Équations sans dimension 379
A.2.4 Hypothèses d'échelle 380
A.2.5 Le potentiel des vitesses 381
A.3 Étude de la limite linéaire 382
A.4 L'équation non-linéaire en eau peu profonde 383
B Mécanique d'un système continu 387
B.1 Formulation lagrangienne 387
B.2 Formulation hamiltonienne 389
Table des matières xiii
C États cohérents de l'oscillateur harmonique 391
Table des portraits 395
Bibliographie 397
Index 407
Langues : Français (
fre)
| Note de contenu : |
Depuis la première observation d’un soliton en 1834, ces ondes solitaires aux caractéristiques exceptionnelles fascinent les scientifiques en raison de leurs propriétés expérimentales très spectaculaires, des développements mathématiques remarquables auxquels leur étude a conduit, mais aussi parce que l’approche en termes de solitons permet de renouveler en profondeur le point de vue sur de nombreux problèmes physiques.Dans cet ouvrage, les fondements sont introduits à partir d’exemples de la physique macroscopique (hydrodynamique, ondes de pression sanguine, océanographie, communications par fibres optiques...). Les principales méthodes théoriques sont ensuite abordées, avant la présentation détaillée de nombreuses applications consacrées à des problèmes microscopiques de la physique des solides (dislocations, chaînes de spins, polymères conducteurs, matériaux ferroélectriques) ou des macromolécules biologiques (transfert de l’énergie dans les protéines, dynamique de la molécule d’ADN).Au-delà des connaissances sur la physique des solitons, l’objectif de ce livre est aussi de familiariser le lecteur avec une nouvelle méthode de travail : au lieu de linéariser puis de traiter les phénomènes non linéaires comme une perturbation, il est souvent plus judicieux de fonder l’analyse sur les grandes classes d’équations non linéaires présentées dans ce livre. C’est pourquoi les discussions sur la modélisation sont présentes tout au long de l’ouvrage et développées dans un chapitre spécifique.Issu d’un cours donné à l’École Normale Supérieure de Lyon, cet ouvrage présente la physique des solitons de manière pédagogique, abordable avec des connaissances de base en physique générale, en mécanique analytique et en mécanique quantique. |
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